Introduction
Le coût de l'éclairage dépend de plusieurs paramètres.
Détermination de la formule
La formule du coût d'une source en fonction du temps, C(t), dépend des paramètres suivant :
| Paramètres | Nom | Unité |
| t | Temps d'utilisation considéré (T pour une valeur "fixée") | heure (h) |
| d | Durée de vie de la source lumineuse | heure (h) |
| a | Coût de la source | Euro (€) |
| e | Coût de l'électricité (en € par wattheure) | Euro (€.W-1.h-1) |
| Φ | Flux lumineux de la source | lumen (lm) |
| ρ | Rendement énergétique de la source lumineuse | lumen/watt (lm.W-1) |
| P | Puissance électrique de la source lumineuse | Watt (W) |
| C | Coût | Euro (€) |
Nous allons démontrer la formule en nous appuyant sur la décomposition de C(t) en trois composantes : Cs(t), Ce(t) et Cm(t)
- Cs(t) : Coût inhérent à l'achat de la source lumineuse
- Ce(t) : Coût inhérent à la consommation électrique de la source lumineuse
- Cm(t) : Coût de la maintenance
Coût des sources
Dès qu'une lampe doit être remplacée, il faut de nouveau payer la source lumineuse. Par conséquent, le coût en terme de sources sera dépendant de la durée de vie de la lampe ainsi que de son coût. Un système dont la lampe a une durée de vie faible vera sa lampe remplacée fréquemment.
Cs(t)=a x ValeurEntière(t/d + 1)
La présence de la fonction "ValeurEntière" s'explique par le fait que si une lampe dure 1000heure, au bout de 1001 heure, il faudra avoir acheté une deuxième ampoule, ce qui conduit à deux ampoules achetées depuis le départ.
Coût de l'électricité
Le coût en électricité est proportionnel au produit de la puissance électrique, du temps et du prix du kWh (kilowatt-heure)
Ce(t)=t x e x P
Coût de maintenance
Les coûts de maintenance sont ceux engendrés par les frais de main d'œuvre, d'immobilisation de matériel... Concrètement,pour changer une ampoule située dans un luminaire accroché à 5 mètre de haut, il faut louer une nacelle, employer un opérateur... cela a un coût. Ce coût dépend fortement de la situation et peut varier entre 0€ (cas du changement d'une ampoule par un particulier) et beaucoup.
Formule générale
C(t)=Ce(t)+Cs(t)+Cm(t=
C(t)=a x ValeurEntière(t/d + 1) + t x e x P + Cm(t)
Discussion
On appelle cette formule "générale" car aucune valeur n'est fixée. Elle a plusieurs degrés de liberté.
Représentation graphique : la fonction C(t) est affine par morceaux. En effet, Cs(t) est une fonction en escalier de périodicité d et de hauteur de marche a. Et Ce(t) est une fonction affine d'ordonnée à l'origine nulle de coefficient directeur e/P.
La composante du coût due à l'électricité est donc proportionnelle au temps alors que la composante due au coût d'achat de la source est ponctuel et périodique.
Si on souhaite aller plus loin, on peut intégrer dans le prix du kilowattheure la notion de temps. Cette complication n'est pas du purisme car les prix peuvent fluctuer de manière non négligeable : l'environnement international évolue vite dans le domaine énergétique.
Un exemple : l'énergie nucléaire était fortement critiquée au début des années 2000 alors que depuis la guerre en Irak et ses conséquences peu sont contre. Il suffit de remplacer e(t) par 1/tx∫e(u).du Avec e(0) le prix du kilowattheure à la date où l'installation a commencé à fonctionner.
La dernière composante (couts d'installation et de maintenance) n'est pas chiffrable de manière générique donc nous ne le prendront pas e n compte. En règle générale sa valeur permet de ne pas fausser les calculs ci-dessous. Si c'était le cas, il faudrait les prendre en compte en adaptant la théorie présentée ci-dessous en remplaçant a par a' qui est le coût d'achat généralisé.
a'=a+coût d'installation+coût de la maintenance. la valeur de a'-a peut, parfois, avoir une valeur loin d'être négligeable. par exemple le changement des lampes de la Tout Eiffel !
Si on veut perfectionner le modèle il faut considérer les maintenance périodique. Les opérations de maintenance, introduisent une nouvelle composant dans Cs(t). Et peut avoir pour expression EntierSuivant(t / dm)×am où dm est la durée moyenne entre deux interventions et am le coût de cette dernière. Mais étant donné que dm est généralement un multiple de d, on peut prendre intégralement en compte les opérations de maintenance dans a.